針對「殘形宇宙學﹙Fractal Cosmology﹚足以推翻大霹靂學說！？」﹙ 原載 於 http://www.fortunecity.com/roswell/minnetonka/358/cosmo2.htm ﹚一文，做出回應之前，筆者想先試圖對碎形做一些描述。 　　﹙文中，我以「碎形」代替「殘形」﹚

　約七Ｏ年代左右，數學家 Benoit Mandelbrot 在一篇幾乎算是他思想轉捩點的論 文「英國的海岸線有多長？」中，發展出了新的維度觀念 ── 幾何學：碎形。

　　三十年間，碎形幾何，與混沌理論，複雜性科學共同匯合，試圖解釋過去科 學家們所忽略的非線性現象，與大自然的複雜結構，把觸角伸入，除了物理、化 學之外的生理學、經濟學、社會學、氣象學，乃至於天文學所談及的星體分布。

　　搖身一變，碎形幾何已經變成了主要能描述大自然的幾何學了。這些研究開 拓了人們對於維度、尺度、結構的新看法，筆者大致歸納如下：

　　◆碎形具有分數維度：不同於整數維度的一維線段，二維矩形，碎形所 具有的維度是分數的，例如無窮擴張三分之四的卡區曲線，其維 度是 1.2618。

　　◆碎形具有尺度無關性：對於「同一個」碎形結構，以不同大小的量尺 來量度「可觀察的區域」，碎形會具有一致的碎形維度。例如， 如果我們不同程度地放大或縮小 Mandelbrot Set，我們會發現圖形 的複雜度，或摺疊程度，或粗糙程度並未因此而改變。

　　◆碎形具有自我模仿性：對於「同一個」碎形結構，自我模仿就是尺度 一層一層縮小的結構重複性，它們不僅在越來越小的尺度裡重複 細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸，造成某種循環 重現的複雜現象。　　　　

　　◆碎形代表有限區域的無限結構：例如，卡區的雪花曲線，是一條無限 長，而結構不斷重複的線段，被限制在最初三角形的正圓區域內 。例如，原本是一固定線段的 Contor Set，最後變成一系列數量 無窮，但總長度卻為零的點集合。

　　◆碎形隱含一種整體性：我們可以從某一尺度的碎形，來推知另一尺度 的「同一個」碎形的大致樣子，這意味著一種整體性，小細節的 傾向可以透露大細節的傾向，大細節的絲毫改變可以令所有小細 節全面改觀，再造成整個碎形圖形的變化。

　　◆碎形是觀察手段的相對結果：回到 Mandelbrot 的那篇論文「英國的海 岸線有多長？」，作為碎形結構的海岸線本身，在某種意義下是 無限長，但是對於不同的觀察者而言，海岸線長度卻端視其手中 的量尺﹙不同的觀察手段﹚而定，Mandelbrot 說：「數據結果是 依觀察者與其對象而改變。」也正是這個觀念，才促使他發展出 不同於過去科學家的維度量度的新理論。

　　◆碎形是非線性動力過程的結果：大自然的外貌、結構是非線性動力過 程所造成的結果，我們也只能在非線性現象中，才能找到碎形的 蹤跡，於是碎形幾何與非線性動力學有著密不可分的關係。

　　萊布尼茲﹙Leibniz﹚曾想像，一滴水中蘊含了整個豐富的宇宙，而宇宙又包 含了水滴，以此無盡循環下去。就像是當精蟲被發現時，我們可以想像，每一條 精蟲代表具體而微的人。 但是 …… 精蟲並不等於尺度縮小的人啊！ 我們雖然可 以從一粒沙窺探世界，但是一粒沙卻仍舊包含不了整個你所正看到的、你所想知 道世界啊！

　　倘若，我們企圖把不同維度的碎形﹙例如卡區曲線、皮諾曲線﹚看做同一種 圖形，那是對碎形幾何的誤解；倘若，我們企圖把原子核結構、分子結構、細胞 結構、人體結構、星系結構、銀河結構全部看做尺度無關性，與彼此有自我模仿 性，那是對碎形幾何的誇大了。尺度無關性，與自我模仿性必須放在「同一個」 碎形結構中來論述，才能得到理解，如果是把不同的碎形結構放在一起討論，就 算它們彼此之間真的是有類似的尺度等級關係，但是這樣的討論並不是在討論「 碎形」，也不應被稱做「碎形宇宙學」，更不用說它是否推翻大霹靂學說了。

　　對於該文，筆者的其他看法如下：

　　１．文中提及「仙女座銀河從宇宙誕生以來，都還沒有公轉一次過，這說不 過去」、「銀河在本宇宙中無法﹙完成﹚公轉，但這是與事實相矛盾的」，就算 它們都無法完成公轉，也不會跟什麼「事實」相違背，而且「無不無法完成公轉 ？」，不是大霹靂學說要解釋的事﹙大霹靂學說是解釋宇宙初誕生的時空變化， 至於誕生後的宇宙發展問題，目前科學家們莫衷一是，尚無定論﹚，也不是所謂 的「碎形宇宙學」所能提出答案的。

　　２．文中提及「本宇宙和粒子實質上是相同的，本宇宙在每一個包含另一本 宇宙的粒子中不斷被複製著，人類身為本宇宙的一部份，我們可以假設在人身上 也可以發現殘形宇宙，也就是本宇宙是一個巨大生物的一個粒子，在我們體內也 有無數個包含宇宙的粒子，每個粒子都是個完整的宇宙，並居住著超級微小的智 慧人種」，「如果我們測量巨大生物及我們體內的元素，且顯示兩者的比例一直 是常數，那麼很有可能這巨大生物和我們結構相同」，前者無法只靠後者來證明 ，例如乒乓球、棒球、？？球、籃球，也有常數比例，可是不同球是用不同材質 做的，而且如果說乒乓球裡有另一個我在打籃球，那要有更多的證據才能說服筆 者。

　　３．至於，尺度的差異是否可以推論出時間量度的差異，筆者無法評論，也 許大人與小孩在時間量度上有所差異，但是要怎麼實驗呢？不同座標系的時間量 度要如何實驗與比較呢？

　　筆者支持該文作者的企圖心，只是該理論想要解釋與涵蓋的範圍實在是太廣 大，需要的是更多的證據與實驗，更紮實的邏輯推論，才能說服人們。

　　每個人對於宇宙都有很多不同的想法，例如，作為信仰的那部分，我認為宇 宙是整體互通的、 心靈與物質間具有某種機制、 創造以某種方式作用著 …… 但 是這些很難證明，可是筆者也希望自己不要否認，畢竟真理的可能性，會讓人們 往前看去。

　　所以，筆者仍是支持該文作者的企圖心。